Monty Hall est un célèbre présentateur outre-atlantique d'une émission de jeu nommée Let's Make A Deal (adaptée dans de nombreux pays dont la France avec le Bigdil) : son épreuve finale consiste à placer le candidat devant trois portes. Celui-ci sait que derrière deux d'entre-elles se cache une chèvre et qu'une seule porte camoufle une superbe voiture. Le candidat choisit une porte et gagne ce qu'elle cache (une des deux chèvres ou une voiture).

Maintenant, imaginons que le candidat ait choisi une porte : Monty Hall ouvre alors une des deux portes restantes pour y dévoiler... une chèvre. Stress et tension chez le candidat, suspens chez le téléspectateur : il reste encore la voiture en jeu et une chèvre. Monty Hall lui pose alors la question fatidique : voulez-vous changer votre choix (prendre l'autre porte non-ouverte) ? Que faire ? C'est là le célèbre problème de Monty Hall !

À première vue, un candidat pourrait penser qu'il possède une une chance sur deux de gagner la voiture en changeant son choix comme en le conservant . Cependant, un détail supplémentaire doit être considéré : Monty Hall connaît l'emplacement de la voiture et dévoilera toujours une porte camouflant une chèvre, quel que soit le choix original du candidat : le candidat aura pu s'en convaincre en étant un fidèle téléspectateur de l'émission et en constatant qu'à chaque fois Monty dévoile une chèvre (exploit qu'il ne pourrait réussir qu'avec une faible probabilité s'il ne connaissait pas l'emplacement de la voiture).

Toutefois, le candidat, muni de cette information peut toujours imaginer que changer ou conserver son choix, c'est du pareil au même : 1 chance sur 2 d'avoir raison (ou de se tromper). Or c'est faux : Monty vient bien de dévoiler une information que le candidat peut utiliser à son avantage.

Examinons donc tous les cas de figure et calculons pour chacun de ceux-ci leur probabilité d'apparition :

1. Le candidat choisit la porte avec la voiture (probabilité de 1/3).
2. Monty Hall peut alors découvrir l'une ou l'autre des portes restantes. En changeant de choix, le candidat perd sûrement (probabilité de gain de 0), par contre en conservant son choix, il est sûr de gagner (probabilité de gain de 1).
3. Le candidat choisit une des portes avec une chèvre (probabilité de 2/3).
4. Monty n'a qu'une seule possibilité : ouvrir la porte avec l'autre chèvre. En changeant de choix, le candidat est sûr de gagner (probabilité de 1), en conservant son choix, il est sûr de perdre (probabilité de 0).

Bilan : globalement, si le candidat change son choix, il peut gagner avec une probabilité de 2/3 (et donc 1/3 en le conservant). Ceci est du au fait que l'évènement de choix d'une porte avec chèvre est de 2/3 et que la connaissance de l'emplacement de la voiture conduit Monty Hall à dévoiler la bonne porte, celle où se situe l'autre chèvre : il nous fournit donc une information capitale. La seule incertitude est de savoir si l'on a choisi initialement une chèvre ou une voiture : le choix initial de la chèvre (2/3) est plus probable que celui de la voiture (1/3), d'où l'intérêt probabiliste de changer de choix. On peut faire des simulations sur le problème avec cette applet Java.

Une variante de ce problème est le paradoxe des prisonniers[1]. La situation est alors la suivante : 3 prisonniers (A, B et C) attendent l'exécution de l'un d'entre-eux dans le couloir de la mort. Mais ils ne savent pas lequel sera exécuté (le choix est prédéterminé et les autres prisonniers seront libérés). Un prisonnier (le prisonnier A) demande au gardien de lui désigner parmi ses codétenus B et C un prisonnier qui sera libéré : le gardien désigne B. Dans cette situation A a toujours une probabilité 1/3 d'être exécuté, par contre C a désormais une probabilité 2/3 de subir la peine capitale. Si (comme Monty Hall), le gardien proposait à A d'échanger son sort avec C, il a tout intérêt à refuser l'offre (sauf s'il souhaite être exécuté).